Diário de estudos semanal-Gabriel

Bom, neste post pretendo fazer um breve relato sobre meu estudo/aprendizado esta semana pra OBM. esta semana eu resolvi em algumas questões de teoria dos números da segunda fase da OBM, como:

OBM-1998) O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?

comentário sobre minha solução: escrevi 1998=2.27.37, partindo da ideia que o numero deve ser formado de algarismos 3 e 0, o para que esse numero seja multiplo de 9, o numero de algarismos 3 deve ser multiplo de 9, ou seja como ele deve ser par e quer o menor numero de algarismos possiveis o numero deve ser 3333333330(obs: tbm é multiplo de 37, mas n consegui provar exatamente alguma relação onde obtive isso)

OBM-1999) encontre todas as soluções inteiras de x^3+y^3=999

Comentário: essa foi provavelmente a mais trabalhosa no sentido "mecânico" da coisa, primeiro fiz que x^3+y^3=999 é a mesma coisa de que (x-y)(x^2+xy+y^2)=27.37, dai considerei x>y e achei todas as possibilidade pra x-y(eu chamei isso de k) dentre obviamente todas as possibilidades 1,3,9,27, 37,111,333 e o proprio 999; partindo dai voltei a expressão k=x-y, isolei y e substitui no problema inicial, depois de um trabalho algebrico vc acha um certo delta em função de k, e olha pra que valores de k esse delta é quadrado perfeito pra que a solução seja inteira.

OBM-1999)  Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a,b,c,d) de (3,6,9,12) (isto é, a,b,c,d = 3,6,9,12) tal que o número n √3^(a).6^(b).9^(c).12^(d) seja inteiro. 

Comentário: este foi simples não faz necessario se alongar muito, basta botar todas as potencias da raiz na msm base 2 e 3, e ver quando os expoentes são maximos.

OBM-2001) Se a n-ésima OBM é realizada em um ano que é divisível por n, dizemos que esse ano é super-olímpico. Por exemplo, o ano 2001, em que está sendo realizada a 23a OBM, é super-olímpico pois 2001 = 87×23 é divisível por 23. Determine todos os anos super-olímpicos, sabendo que a OBM nunca deixou de ser realizada desde sua primeira edição, em 1979, e supondo que continuará sendo realizada todo ano.

comentario: também é relativamente trivial, basta observar que a n-1978-ésima obm é realizada no ano n(ex: em 1979 foi feita a primeira obm--->1979-1978=1) ai basta lembrar que se k|a e k|a-b, então k|b, logo n-1978|1978, ai iguala n-1978 aos divisores de 1978 e vc acha todos os anos "super olimpicos".

OBM 2002)Determine o maior natural k para o qual existe um inteiro n tal que 3^k divide n^3 −3n^2 + 22.

Comentário: a ideia é vc fazer n=3s, n=3s-1 e 3s+1,porquê ai você cobre todos os casos possiveis ja que o problema quer saber sobre a maior potencia na base 3, então vc vai fznd as contas e ver que em 2 desses casos(n vou dizer quais são hehehe) vc encontra uns absurdos, e em 1 deles vc encontra um fato coerente sobre o maior divisor comum das parcelas e ver que é uma potencia de 3(esse eu n sei se esta certo, mas eu acho que tá rsrsrs).

Um outro tópico que gostaria de ressaltar é que todo esse estudo de teoria dos números estou fazendo pelo livro "teoria dos números: um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro" é o melhor livro de Teoria dos números que já li, altamente recomendado.

E pra finalizar o meu primeiro post no blog gostaria de falar sobre o Desafio do mestre Kame que fiz durante alguns dias a pedido do meu treinador pra OBM, Alan Anderson, que foi um desafio baseado em varios topicos gerais de teoria dos números, no intuito de sondar as dificuldades de aptidões do aluno, recomendo pra quem quiser fazer, tem umas questões bem legais.link:Desafio mestre kame.