Relatório diário
Este é meu primeiro relato, tentarei fazer diariamente, e tentarei dar detalhes sobre o que estudei e tentei durante o dia:
03\10\2017 :
Revisei alguns assuntos de Teoria dos Números, especificamente resíduos quadráticos. além disso tentei algumas questões , algumas das quais eu consegui terminar outras não:
1°) OBM 2003; P1) Determine o menor número primo z positivo que divide x² + 5x +23 para algum inteiro x;
Meu desenvolvimento na questão; no começo tentei usar o que estava estudando (resíduos quadráticos) mas, não tive sucesso, apesar da questão me levar a acreditar que existe uma solução seguindo esse raciocínio pelo fato de ter números primos, e se uma equação quadrática, deixando isso de lado tem uma solução simples testando casos simples e descobrindo que 17 pode dividir a equação (x = -3) então z é no máximo 17. daí o resto fica fácil
2°) OBM 2003; P5) Suponha que f:(0; +infinito) -> R satisfaz:
i) x < y => f(x) < f(y)
ii) f:(2xy\{x+y}) >= [f(x) + f(y)] \2
Meu desenvolvimento: não consegui muito nessa questão, o fato de não poder explorar simetria nem usar o 0 complica a questão, não podemos fazer x = y sem chegar em algo obvio (f(x)=(f(x))). mas tentarei ela novamente depois.
3° ) 40° IMO P6; Determine todas as funções f: R -> R tais que :
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1
Minha resolução: É sempre uma boa ideia tentar encaixar um f(0) na equação se possível então substituímos primeiro x por f(y) na equação inicial, vamos obter:
f(0) = 2f(f(y)) + f(y)² - 1 => f(f(y)) = [f(0) + 1 - f(y)²]\2 , agora vamos obter f(0) de outra forma, fazendo x=0 na equação inicial obtemos:
(i) f(-f(y)) = f(f(y)) +f(0) - 1 , mas vimos acima um outro valor para f(f(y)), legal, agora vamos substituir nessa ultima equação obtendo assim :
f(-f(y)) = [f(0)+1-f(y)²]\2 +f(0) - 1. Dessa última podemos explorar a simetria da equação, substitua nessa última f(y) por -f(y), vamos obter:
f(f(y)) = f(-f(y)) e assim, usando esse fato em (i) segue que f(0) = 1 ; agora que sabemos o valor de f(0) faça y = 0 e vamos obter f(x-1) = f(1) +x - 1 + f(x) , daí podemos observar padrões observando casos pequenos como x=1; x=2.... daí podemos provar usando indução que f(x) = 1 - 1\x² e é fácil ver que satisfaz as condições do enunciado.
06\10\2017:
Nesses últimos dias estudei teoria dos números, resumidamente, nos dia 04\10 estudei resíduo quadrático, e tentei corrigir um erro na minha solução acima de equações funcionais, não considerei para x não inteiro, e dei um passo sem explicar o passo anterior quando substitui f(y) por -f(y) ; dia 05\10 não produzi (pelo menos não que eu lembre kkkkk); dia 06\10 hoje: fiz a iberoamericana universitária pela manhã por experiência, segunda edito aqui e comento sobre a prova, mas mexi em 3 questões, dessas fiz 1,5 ... além disso pela noite eu estudei ordem e raiz primitiva, revisei o que ja tinha visto, e fiz 3 exercícios simples relacionados a ordem, vou deixar um deles aqui em baixo pra quem quiser tentar:
EXERCICIO: prove que n| phi(a^n - 1)
03\10\2017 :
Revisei alguns assuntos de Teoria dos Números, especificamente resíduos quadráticos. além disso tentei algumas questões , algumas das quais eu consegui terminar outras não:
1°) OBM 2003; P1) Determine o menor número primo z positivo que divide x² + 5x +23 para algum inteiro x;
Meu desenvolvimento na questão; no começo tentei usar o que estava estudando (resíduos quadráticos) mas, não tive sucesso, apesar da questão me levar a acreditar que existe uma solução seguindo esse raciocínio pelo fato de ter números primos, e se uma equação quadrática, deixando isso de lado tem uma solução simples testando casos simples e descobrindo que 17 pode dividir a equação (x = -3) então z é no máximo 17. daí o resto fica fácil
2°) OBM 2003; P5) Suponha que f:(0; +infinito) -> R satisfaz:
i) x < y => f(x) < f(y)
ii) f:(2xy\{x+y}) >= [f(x) + f(y)] \2
Meu desenvolvimento: não consegui muito nessa questão, o fato de não poder explorar simetria nem usar o 0 complica a questão, não podemos fazer x = y sem chegar em algo obvio (f(x)=(f(x))). mas tentarei ela novamente depois.
3° ) 40° IMO P6; Determine todas as funções f: R -> R tais que :
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1
Minha resolução: É sempre uma boa ideia tentar encaixar um f(0) na equação se possível então substituímos primeiro x por f(y) na equação inicial, vamos obter:
f(0) = 2f(f(y)) + f(y)² - 1 => f(f(y)) = [f(0) + 1 - f(y)²]\2 , agora vamos obter f(0) de outra forma, fazendo x=0 na equação inicial obtemos:
(i) f(-f(y)) = f(f(y)) +f(0) - 1 , mas vimos acima um outro valor para f(f(y)), legal, agora vamos substituir nessa ultima equação obtendo assim :
f(-f(y)) = [f(0)+1-f(y)²]\2 +f(0) - 1. Dessa última podemos explorar a simetria da equação, substitua nessa última f(y) por -f(y), vamos obter:
f(f(y)) = f(-f(y)) e assim, usando esse fato em (i) segue que f(0) = 1 ; agora que sabemos o valor de f(0) faça y = 0 e vamos obter f(x-1) = f(1) +x - 1 + f(x) , daí podemos observar padrões observando casos pequenos como x=1; x=2.... daí podemos provar usando indução que f(x) = 1 - 1\x² e é fácil ver que satisfaz as condições do enunciado.
06\10\2017:
Nesses últimos dias estudei teoria dos números, resumidamente, nos dia 04\10 estudei resíduo quadrático, e tentei corrigir um erro na minha solução acima de equações funcionais, não considerei para x não inteiro, e dei um passo sem explicar o passo anterior quando substitui f(y) por -f(y) ; dia 05\10 não produzi (pelo menos não que eu lembre kkkkk); dia 06\10 hoje: fiz a iberoamericana universitária pela manhã por experiência, segunda edito aqui e comento sobre a prova, mas mexi em 3 questões, dessas fiz 1,5 ... além disso pela noite eu estudei ordem e raiz primitiva, revisei o que ja tinha visto, e fiz 3 exercícios simples relacionados a ordem, vou deixar um deles aqui em baixo pra quem quiser tentar:
EXERCICIO: prove que n| phi(a^n - 1)
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