Relatório Kevyn ( Última semana de setembro )

Olá pessoal, pretendo registrar aqui a minha atividade durante a semana, com relação à semana passada, estudei tópicos de genatória ou combmétria ( Geometria + combinatória ) e de geometria.

Estudei genatória por um artigo do Shine, não vou deixar o link aqui, pois não sei onde tirei o artigo, e colocando no google não ta indo ;( , mas é possível encontrar  o artigo " Problemas sobre pontos " do Davi ( http://conesul2006.tripod.com/Material/Problemas_Sobre_Pontos_I.pdf)

Nesse tema, aprendi sobre fecho convexo, princípio do extremo, contar pontos, e, uma coisa que achei legal, como utilizar geometria em problemas de combinatória, um dos problemas que achei mais legal foi :

 ( EUA ) Um reticulado no plano cartesiano consiste em todos os pontos (m, n), onde m e n são inteiros. É possível cobrir todos os pontos do reticulado com uma família infinita de círculos cujos interiores não se sobrepõem se cada círculo da família tem raio maior ou igual a 5?

Ideia da solução: Esse foi um dos exemplos dado no artigo. Suponha, por absurdo, que seja possível.
Assim, pense no maior círculo C que não se sobrepõe com nenhum círculo da família, C pode cobrir um ponto do reticulado? Qual o maior valor possível para o seu raio?
Mostre, agora, que C tem que tangenciar pelo menos  três círculos da família, ah.... Agora ótimo, a clássica situação de quatro círculos ligados por seus raios ( como se fossem pontes ), agora podemos usar trigonometria e fazer contas, agora só falta chegar à um absurdo, aqui é a parte fácil do problema, e a resposta é não.

Agora, usando a ideia de contar pontos e retas, e contar de duas maneiras para fazer contas, essas ideias são úteis:

•  Considere um conjunto S de n pontos, sem que três deles sejam colineares, quantas retas podem ser determinadas por tais pontos?  R-   n escolhe 2.
• Considere o mesmo conjunto S, tais que não existem 4 concíclicos ( pertencem à uma mesma circunferência ), quantos círculos podemos formar?  R- n escolhe 3.

Agora podemos resolver o seguinte problema, que também foi dado como exemplo no artigo: 

( IMO ) Sejam n e k dois inteiros positivos e seja S um conjunto de n pontos num plano tais que :

(i) Não haja três pontos de S que sejam colineares;

(ii) Para qualquer ponto P, há pelo menos k pontos de S que são equidistantes de P.

Prove que k<1/2+ \sqrt{2n} 

Sugestão: Pense em mediatrizes, quantas, no máximo? No mínimo, quantas passam por P? 

Conte de duas maneiras ( Escolha algo interessante para contar), em  f(k) e f(n), faça contas. 

Trabalhei uma tarde neste tema, e depois, passei para geometria, gostei muito deste tema, espero, essa semana, tentar os problemas propostos. 

Em geometria:

Em geometria, estudei o artigo: http://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/cronicas-nerdia-geometria-2005.pdf, muito bom, fala sobre geometria sintética e geometria análitica, mais especificamente, sobre quão é importante manter essas duas ferramentas afiadas. 

Aprendi a técnica de "Abrir a portinha para soma de segmentos", aprendi isso em um problema que ele mostrou, em seguida, ao chegar na UFAL, mais tarde, encontrei o jabuti Leonardo Marinho, que me propôs um problema da lista da cone-sul, que fiquei feliz em resolver com isso, Léo, bote aqui nos comentários, o problema ;).  Ontem, estudando um artigo do Shine ( Caça-fantasmas, técnicas em geometria ), um dos pontos em que o autor cobrava estar familiarizado era " Abrir a portinha para soma de segmentos", dai então me toquei que isso é uma coisa importante e muito usada.

Mas, e aí? O que é essa portinha? 

Quando temos uma situação do tipo : " AB + BP = AQ+QB ", abrir a "portinha", é estender AB e AQ, e tomar pontos P' e Q' sobre os prolongamentos tais que BP=BP', e QB=QB', veja que é importante que ABP seja um triângulo, ou seja, A, B e P não sejam colineares, o mesmo pra A, Q e B. Se vc fizer uma figura, verá que nós acabamos de ganhar vários triângulos isósceles ( dois, ou mais, dependendo da situação ). 

Agora vc já pode resolver o problema: 

(IMO) Num triângulo ABC, seja AP a bissetriz de  <BAC com P no lado BC, e seja BQ a bissetriz de < ABC com Q no lado CA. Sabemos que <BAC = 60◦ e que AB + BP = AQ + QB. Quais são os possíveis valores dos ˆângulos do triângulo ABC?

Sugestão:

Abra as portinhas, suponha que B' está entre A e C, chegue à um absurdo, faça o mesmo para quando B' está "fora" de AC, o que você conclui com isso? 

Na sexta-feira, estudei sobre o teorema de Miquel, e até agora, não fiz nenhum problema com isso, também, confesso que não tentei muito, deixo para falar sobre isso na próxima semana, nessa semana pretendo fazer problemas sobre. 

Ah... na terça-feira fiz a OBM de 2005, e consegui fazer os problemas 1 e 4, seguem: 

(OBM 2005- P1) Um número natural é palíndromo quando se obtém o mesmo número ao escrevermos os seus dígitos na ordem inversa. Por exemplo, 481184, 131 e 2 são palíndromos. Determine todos os pares de inteiros positivos (m, n) tais que  111...1 x 111...1 é palíndromo, onde na primeira parte do produto temos m uns e na segunda parte, n uns.

Ideia da solução: Mostre que m e n não podem ser ambos maiores que 10.

(OBM 2005 - P4) Temos quatro baterias carregadas, quatro baterias descarregadas e um rádio que necessita de duas baterias carregadas para funcionar. Supondo que não sabemos quais baterias estão carregadas e quais estão descarregadas, determine o menor número de tentativas suficiente para garantirmos que o rádio funcione. Uma tentativa consiste em colocar duas das baterias no rádio e verificar se ele, então, funciona.

Comentário: Neste problema, mostrei um exemplo para 7 tentativas, ainda não redigi, claro que eu tenho que mostrar que não é possível com menos de 7, espero que seja relativamente fácil de fazer isso. Pode ser, também, que a resposta não seja 7.

Então é isso, até semana que vem. 

:D :D